Это часть более крупного материала, который надеюсь добить в ближайшее время, посвящённого фантазиям о применении регрессионного анализа в индивидуальной рыночной оценке. Уж сколько раз твердили миру ….

……………………………………………

Сарстедт и Муи ^[1] выделяют два подхода к определению минимального числа наблюдений, которые необходимо использовать для получения достоверного результата регрессионного анализа:

1. Формальный подход на основе анализа мощности или/и точности. При этом, как указывают авторы «эти расчёты сложны», что, в целом, соответствует действительности для начального уровня компетентности и требует специфических знаний и умений, а также ресурса времени. Однако, эти расчёты могут быть автоматизированы.
2. Подход на основании эмпирических правил, который, очевидно, проще, но не имеет строгой научной основы, позволяющей его универсализировать. Тем не менее, эмпирические правила очень полезны на самом начальном этапе планирования регрессионного анализа для оценки (см. далее).

Первый подход рассматривают Келли и Максвелл ^[2], которые указывают, что в контексте многомерной регрессии к размеру выборки можно подходить по крайней мере на двух уровнях – модели оценки в целом и каждого предиктора модели в отдельности, а также на каждом уровне с двух различных точек зрения – мощности выборки соответственно для модели в целом и для каждого предиктора и точности определения значений, а также точности определения зависимой переменной и точности определения каждого предиктора. Обобщение этих четырёх возможных вариантов решения вопроса представлено в Табл. Х.

Таблица Х. Четыре варианта решения вопроса о достаточности объёма выборки для получения достоверного результата регрессионного анализа.

Точка зрения	Уровень
Модели в целом	Каждого отдельного предиктора
Мощность (объём) выборки	Достаточность объёма выборки для статистической значимости модели в целом показывается на основании анализа коэффициента корреляции модели в целом и F – критерия Фишера. Требуется предварительная проверка остатков модели на нормальность.	Достаточность объёма выборки для статистической значимости каждого отдельного предиктора показывается на основании коэффициента частной корреляции по каждому предиктору и t – критерия Стьюдента (более мягкий) или F – критерия Фишера (более жёсткий). Требуется предварительная проверка остатков модели по каждому предиктору на нормальность.
Точность определения	Задаётся точность модели в целом в виде величины доверительного интервала, а затем из формулы доверительного интервала определяется минимально необходимое количество наблюдений. Требуется предварительная проверка остатков модели на нормальность, поскольку в расчётах используется статистика Стьюдента.	Задаётся точность определения каждого предиктора в виде величины доверительного интервала, а затем из формулы доверительного интервала определяется минимально необходимое количество наблюдений. Требуется предварительная проверка остатков модели на нормальность, поскольку в расчётах используется статистика Стьюдента.

Относительно точностной точки зрения – варианты 3 и 4 — в оценке можно утверждать, что она не применима, поскольку в формулу доверительного интервала для бесповторной выборки входят параметры объёма генеральной совокупности и среднеквадратического отклонения по генеральной совокупности, которые в оценке, как правило, не известны и их можно определить только оценочно, предположительно, т.е. проблематически.

Мощностная точка зрения в оценке применима и применяется.

При этом более простой уровень анализа – на уровне модели в целом – для целей оценки в принципе не подходит во избежание злоупотреблений, связанных со включением в модель статистически незначимых параметров с целью обеспечения заранее необходимого результата оценки. Таким образом, в оценке должны быть статистически значимыми как сама модель, так и каждый предиктор (фактор) этой модели.

Если обратиться к альтернативному подходу – эмпирических правил, то необходимо иметь в виду то, что они взяты не из воздуха, а являются обобщением опыта авторов решения конкретных практических задач, в ходе которого авторам удалось показать статистическую значимость результатов с помощью формального подхода. Опыт автора данной статьи по применению формального подхода приводит к аналогичному выводу. Однако, в силу разнообразия задач, которые решались авторами эмпирических правил и ситуаций исследования (которые обобщаются в величинах коэффициентов корреляции модели в целом и частных корреляций по отдельным предикторам модели), интервалы, которые дают эмпирические правила, очень широки.

В Табл. 1 представлен обзор эмпирических правил для минимально необходимого числа наблюдений для регрессионного анализа в статистической и оценочной литературе (статьи и монографии).

Таблица 1. Обзор эмпирических правил для минимально необходимого числа наблюдений для регрессионного анализа в статистической и оценочной литературе (n – минимально необходимое число наблюдений, m – количество факторов (предикторов) модели)

Автор(ы)	Эмпирическое правило	Ссылка
Статистическая литература
Маркс (Marks, 1966)	n ≥ 200	[3]
Шмидт (Schmidt, 1971)	n : m = от 15 : 1 до 25 : 1	[4]
Харрис (Harris, 1985)	n  ≥ 50 + m (для m ≤ 5)n : m = 10 : 1 (для m ≥ 6) : m = 30 : 1 (при анализе слабых эффектов)	[5]
Табачник и Фиделл (Tabachnick and Fidell, 1989)	n : m = 5 : 1	[6]
Грин (Green, 1991)	n ≥  50 + 8 х m (для тестирования значимости модели в целом) ≥  104 + m (для тестирования значимости отдельных предикторов).При совместном тестировании используется максимально жесткое правило из двух	[7]
Хейр, Андерсон и др. (1992)	n : m = от 10 : 1 до 15 : 1	[8]
ВанВорхис и Морган (VanVoorhis & Morgan, 2007)	n ≥ 104 + m, при этом наличие как минимум 30 наблюдений на фактор (т.е. 30 х m) позволяет лучше обнаружить слабые эффекты (ожидаемый R2 равен 0,10 или меньше)	[9]
Оценочная литература
Эпли (Epley D., 2004),	минимум 30 наблюдений всего	[10]
Appraisal Institute (2020)	Многие исследователи предполагают, что минимальное отношение должно быть в диапазоне от 10 до 15 наблюдений на независимую переменную, с отношением от 4 : 1 до 6 : 1 в качестве абсолютного минимума.	[11]
ДеЮиз (2022)	Для регрессионного анализа сопоставимых продаж обычно требуется от 10 до 15 продаж по каждой независимой переменной	[12]
Тримбл (2023)	Для регрессии (а также для парных продаж) требуется размер выборки, значительно превышающий количество предикторных (независимых) переменных, включенных в модель.	[13]

Как видно из Табл. 1, на практике используются три вида эмпирических критериев минимально необходимого числа наблюдений для проведения регрессионного анализа:

1. Абсолютный критерий — n ≥ N, где N определяется в очень широких пределах – 30 (Эппли) … 200 (Маркс), в силу чего его надо рассматривать только в самом первом приближении.
2. Критерий в виде суммы (критерий суммы), который в обобщённом виде можно записать как n ≥ А + В х m, где А = 50 … 100, В ≥ 1 (1, 2, 3, … 8);
3. Критерий в виде отношения, который можно записать как n : m = С : 1, где С = 5 … 10 … 15 … 30. При этом С = 5 – самый минимум, начиная с которого можно пробовать осуществить регрессионный анализ, а С = 30 используется в случае необходимости исследования влияния слабых факторов (ожидаемый R² равен 0,10 или меньше).

Как указывает Харрис (см. Табл. 1), критерий суммы лучше подходит для малого количества (5 и менее) факторов модели, в ином случае лучше использовать критерий отношения. Очевидно, что в первом случае предполагается то, что исследователь в ходе предварительного анализа выбрал наиболее существенные факторы, а во втором случае в процессе исследования имеет место элемент угадывания.

Обобщая данные, представленные в Табл. 1, можно заключить следующее.

1. Самым минимумом, с которого можно начинать использование регрессионного анализа, по критерию суммы является n ≥  50 + m, по критерию отношения n = 5 х m (Табачник и Фиделл). Очевидно, что если принять m = 2 … 3, то критерий суммы будет более существенно более жёстким, поскольку даст n = 52 … 53, против n = 10 … 15 по критерию отношения. Однако, в отношении критерия отношения возникает ещё одно ограничение, следующее из центральной предельной теоремы — n > 15. Таким образом, в данном случае следует признать неработоспособность критерия отношения на самом низком его пределе.
2. Если объединить данные Шмидта, Харриса, Хейра и Андерсона с соавт., Эпли, The Appraisal of Real Estate и ДеЮиза (см. Табл. Х) — т.е. большинство приведённых данных — то получается, что на каждый фактор модели регрессионного анализа в оценке требуется минимум по 10 – 15 сопоставимых продаж. При m = 2 это даст n = 20 … 30, а при m = 3 n = 30 … 45, что уже совпадает с минимальным абсолютным критерием (n > 30, Эппли) и ближе к минимальному критерию суммы и не противоречит ограничению, накладываемому центральной предельной теоремой.

Вопрос о том, является ли такие объёмы выборок типичными в индивидуальной, рыночной оценке, является риторическим, поскольку ответ на него очевидно отрицательный. Однако, в отдельных, нетипичных случаях такое возможно, а потому принципиальное использование регрессионного анализа в оценке автором не отрицается.

Особо отметим, что указанные значения априори предполагают наличие достаточно сильных (не слабых) корреляций модели в целом и частных корреляций по отдельным предикторам и категорически не гарантируют априорную статистическую значимость и достоверность результата оценки в конкретных ситуациях (при слабых корреляциях на уровне модели в целом и/или по отдельным факторам модели проверка формальным подходом может удостоверить отрицательный результат и выявить попытки манипулирования моделью), а только позволяют

1. оценщику — принять решение о целесообразности траты времени на регрессионный анализ до его начала, исходя из объёма имеющихся данных;
2. потребителю – не вдаваясь в детали анализа отчёта об оценке, принять решение о целесообразности траты времени на такой анализ.

С другой стороны, ориентация на максимально жёсткие эмпирические правила — n ≥ 200 (Маркс); n : m = 30 : 1 (Харрис, ВанВорхис и Морган); n ≥  104 + m (Грин, ВанВорхис и Морган) – с много большей вероятностью позволит обеспечить статистическую значимость как результата модели регрессионного анализа в целом, так и отдельных предикторов модели. Однако, это область объёмов выборок, которая и соответствует традиционному применению регрессионного анализа, в том числе – в массовой налоговой оценке, что не совпадает с реалиями индивидуальной, рыночной оценки.

---

[1] Sarstedt M., Mooi, E. (2014), Regression Analysis, In: A Concise Guide to Market Research, Springer Texts in Business and Economics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, https://www.researchgate.net/publication/300403700_Regression_Analysis

[2] Kelley K., Maxwell S.E. (2003), Sample Size for Multiple Regression: Obtaining Regression Coefficients That Are Accurate, Not Simply Significant, Psychological Methods, Vol. 8, No. 3, https://www3.nd.edu/~kkelley/publications/articles/Kelley_Maxwell_2003.pdf

[3] Marks, М. R. (1966). Two kinds of regression weights that are better than betas in crossed samples. Paper presented at the meeting of the American Psychological Association. Цит. по Green S.B.  (1991) How Many Subjects Does It Take To Do A Regression Analysis, Multivariate Behavioral Research, 26:3, https://parsmodir.com/wp-content/uploads/2013/03/green1991.pdf

[4] Schrnidt, F. L. (1971). The relative efficiency of regression in simple unit predictor weights in  applied differential psychology. Educational and Psychological Measurement, 31. Цит. по Green S.B.  (1991) How Many Subjects … — цит. соч.

[5] Harris, R. J. (1985). А primer of multivariate statistics (2nd ed.). Orlando, FL: Academic. Цит. по Van Voorhis C.R.W., Morgan B.L. (2007), Understanding Power and Rules of Thumb for Determining Sample Size, Tutorials in Quantitative Methods for Psychology 3(2), https://www.researchgate.net/publication/49619425_Understanding_Power_and_Rules_of_Thumb_for_Determining_Sample_Size

[6] Tabachnick, В. G., & Fidell, L. S. (1989). Using multivariate statistics (2nd. ed.). Cambridge, МА: Harper & Row. Цит. по Green S.B.  (1991) How Many Subjects … — цит. соч.

[7] Green S.B.  (1991) – цит. соч.

[8] Hair J.F., Anderson R.E. e.a. (1992), Multivariate Data Analysis with Readings, 3rd ed., New York: Macmillan, Цит. по Appraisal Institute (2020), The Appraisal of Real Estate, 15th Edition, Appendix B. Regression Analysis and Statistical Applications, https://www.appraisalinstitute.org/assets/1/7/ARE_15_Appendix_B.pdf

[9] Van Voorhis C.R.W., Morgan B.L. (2007), Understanding Power and Rules of Thumb … — цит. соч.

[10] Epley D. (2004), Comments on «Evaluating the Valuers», Appraisal Journal, Jun 22, https://www.thefreelibrary.com/Comments+on+%22Evaluating+the+Valuers%22.-a0120353045

[11] Appraisal Institute (2020), The Appraisal of Real Estate, 15th Edition – цит. Соч.

[12] DeWeese G.S.  (2022), Land Valuation. Real Solutions to Complex Issues, The Appraisal Institute, Chicago, IL, Chapter 5. The Adjustment Process

[13] Trimble M.C. (2023), Regression Promises and … — цит. соч.